二元一次方程组基础知识梳理

1.二元一次方程组解法:加减消元法的知识点

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二元一次方程组解法:加减消元法

(1)两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等时,把这两个方程的两边分别相加或相减,就能消去这个未知数,得到一个一元一次方程,这种方法叫做加减消元法,简称加减法。

(2)用加减消元法解二元一次方程组的解

1、方程组的两个方程中,如果同一个未知数的系数既不互为相反数幼不相等,那么就用适当的数乘方程两边,使同一个未知数的系数互为相反数或相等,即"乘"。

2、把两个方程的两边分别相加或相减,消去一个未知数、得到一个一元一次方程,即"加减"。

3、解这个一元一次方程,求得一个未煮熟的值,即"解"。

4、将这个求得的未知数的值代入原方程组中任意一个方程中,求出另一个未知数的值即"回代"。

5、把求得的两个未知数的值用{联立起来,即"联"。

2.七年级数学下册用二元一次方程组解决问题知识点总结

二元一次方程定义:一个方程含有两个未知数,并且未知数的指数都是1的整式方程,叫二元一次方程。

二元一次方程组定义:含有两个相同未知数的两个一次方程所组成的方程组叫做二元一次方程组。

二元一次方程的解:适合一个二元一次方程的一组未知数的值,叫做这个二元一次方程的一个解。

二元一次方程组的解:二元一次方程组中各个方程的公共解,叫做这个二元一次方程组的解。二元一次方程组的解必是它所含的二元一次方程的解。

1)代入消元法:通过“代入”消去一个未知数,从而求出方程组的解的方法叫做代入消元法,简称代入法。

2)加减消元法

①在二元一次方程组中,若有同一个未知数的系数相同(或互为相反数),则可直接相减(或相加),消去一个未知数;

②在二元一次方程组中,若不存在①中的情况,可选择一个适当的数去乘方程的两边,使其中一个未知数的系数相同(或互为相反数),再把方程两边分别相减(或相加),消去一个未知数,得到一元一次方程;

③解这个一元一次方程;

④将求出的一元一次方程的解代入原方程组系数比较简单的方程,求另一个未知数的值;

⑤把求得的两个未知数的值用大括号联立起来,这就是二元一次方程组的解。

利用等式的性质使方程组中两个方程中的某一个未知数前的系数的绝对值相等,然后把两个方程相加(或相减),以消去这个未知数,使方程只含有一个未知数而得以求解,再代入方程组的其中一个方程。像这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法,简称加减法。

二元一次方程组的应用:列二元一次方程组的关键是能正确分析出题目中的等量关系,题目内容往往与生活实际相贴近,与社会关系的热点问题相联系,请平时注意搜集、观察与分析。

3.初中数学一元二次方程知识点

知识点1:一元二次方程的基本概念 1.一元二次方程3x2+5x-2=0的常数项是-2. 2.一元二次方程3x2+4x-2=0的一次项系数为4,常数项是-2. 3.一元二次方程3x2-5x-7=0的二次项系数为3,常数项是-7. 4.把方程3x(x-1)-2=-4x化为一般式为3x2-x-2=0.二、解方程的依据—等式性质 1.a=b←→a+c=b+c 2.a=b←→ac=bc (c≠0) 三、解法 1.一元一次方程的解法:去分母→去括号→移项→合并同类项→ 系数化成1→解。

2. 元一次方程组的解法:⑴基本思想:“消元”⑵方法:①代入法 ②加减法 四、一元二次方程 1.定义及一般形式: 2.解法:⑴直接开平方法(注意特征) ⑵配方法(注意步骤—推倒求根公式) ⑶公式法: ⑷因式分解法(特征:左边=0) 3.根的判别式: 4.根与系数顶的关系: 逆定理:若 ,则以 为根的一元二次方程是: 。 5.常用等式: 五、可化为一元二次方程的方程 1.分式方程 ⑴定义 ⑵基本思想: ⑶基本解法:①去分母法②换元法(如, ) ⑷验根及方法 2.无理方程 ⑴定义 ⑵基本思想: ⑶基本解法:①乘方法(注意技巧!!)②换元法(例, )⑷验根及方法 3.简单的二元二次方程组 由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组都可用代入法解。

六、列方程(组)解应用题 一概述 列方程(组)解应用题是中学数学联系实际的一个重要方面。其具体步骤是: ⑴审题。

理解题意。弄清问题中已知量是什么,未知量是什么,问题给出和涉及的相等关系是什么。

⑵设元(未知数)。①直接未知数②间接未知数(往往二者兼用)。

一般来说,未知数越多,方程越易列,但越难解。 ⑶用含未知数的代数式表示相关的量。

⑷寻找相等关系(有的由题目给出,有的由该问题所涉及的等量关系给出),列方程。一般地,未知数个数与方程个数是相同的。

⑸解方程及检验。 ⑹答案。

综上所述,列方程(组)解应用题实质是先把实际问题转化为数学问题(设元、列方程),在由数学问题的解决而导致实际问题的解决(列方程、写出答案)。在这个过程中,列方程起着承前启后的作用。

因此,列方程是解应用题的关键。 二常用的相等关系 1. 行程问题(匀速运动) 基本关系:s=vt ⑴相遇问题(同时出发): + = ; ⑵追及问题(同时出发): 若甲出发t小时后,乙才出发,而后在B处追上甲,则 ⑶水中航行: ; 2. 配料问题:溶质=溶液*浓度 溶液=溶质+溶剂 3.增长率问题: 4.工程问题:基本关系:工作量=工作效率*工作时间(常把工作量看着单位“1”)。

5.几何问题:常用勾股定理,几何体的面积、体积公式,相似形及有关比例性质等。 三注意语言与解析式的互化 如,“多”、“少”、“增加了”、“增加为(到)”、“同时”、“扩大为(到)”、“扩大了”、…… 又如,一个三位数,百位数字为a,十位数字为b,个位数字为c,则这个三位数为:100a+10b+c,而不是abc。

四注意从语言叙述中写出相等关系。 如,x比y大3,则x-y=3或x=y+3或x-3=y。

又如,x与y的差为3,则x-y=3。五注意单位换算 如,“小时”“分钟”的换算;s、v、t单位的一致等。

七、应用举例(略) 第六章 一元一次不等式(组) ★重点★一元一次不等式的性质、解法 ☆ 内容提要☆ 1. 定义:a>b、a2. 一元一次不等式:ax>b、ax3. 一元一次不等式组: 4. 不等式的性质:⑴a>b←→a+c>b+c ⑵a>b←→ac>bc(c>0) ⑶a>b←→acb,b>c→a>c ⑸a>b,c>d→a+c>b+d. 5.一元一次不等式的解、解一元一次不等式 6.一元一次不等式组的解、解一元一次不等式组(在数轴上表示解集) 7.应用举例(略)。

4.二元一次方程组

百科名片含有两个未知数,并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程。

把两个含有相同未知数的一次方程联合在一起,那么这两个方程就组成了一个二元一次方程组。目录相关定义 解法 消元法 换元法 设参数法 图像法三种解 组解 有无数组解 无解其它 注意 列方程(组)解应用题区别一元二次方程 知识梳理展开相关定义 解法 消元法 换元法 设参数法 图像法三种解 组解 有无数组解 无解其它 注意 列方程(组)解应用题区别一元二次方程 知识梳理展开编辑本段相关定义把两个含有相同未知数的一次方程联合在一起,那么这两个方程就组成了一个二元一次方程组。

二元一次方程定义:一个方程含有两个未知数,并且未知数的指数都是1的整式方程,叫二元一次方程。二元一次方程组定义:两个结合在一起的,且共含有两个未知数的一次方程,叫二元一次方程组。

二元一次方程的解:使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值,叫做二元一次方程的解。二元一次方程组的解:一般的,二元一次方程组的两个二元一次方程的公共解,叫做二元一次方程组的解。

一般解法,代入消元法:将方程组中的未知数个数由多化少,逐一解决。【课标要求】考点课标要求知识与技能目标了解理解掌握灵活应用二元一次方程组了解二元一次方程(组)及解的定义∨熟练掌握用代入法和加减法解二元一次方程组的方法并能灵活运用∨∨∨能正确列出二元一次方程组解应用题∨∨【知识梳理】1.二元一次方程(组)及解的应用:注意:方程(组)的解适合于方程,任何一个二元一次方程都有无数个解,有时考查其整数解的情况,还经常应用方程组的概念巧求代数式的值。

2.解二元一次方程组:解方程组的基本思想是消元,常用方法是代入消元和加减消元,转化思想和整体思想也是本章考查重点。3.二元一次方程组的应用:列二元一次方程组的关键是能正确分析出题目中的等量关系,题目内容往往与生活实际相贴近,与社会关系的热点问题相联系,请平时注意搜集、观察与分析。

编辑本段解法消元法1)代入消元法用代入消元法的一般步骤是:1.选一个系数比较简单的方程进行变形,变成 y = ax +b 或 x = ay + b的形式;2.将y = ax + b 或 x = ay + b代入另一个方程,消去一个未知数,从而将另一个方程变成一元一次方程;3.解这个一元一次方程,求出 x 或 y 值;4.将已求出的 x 或 y 值代入方程组中的任意一个方程(y = ax +b 或 x = ay + b),求出另一个未知数;5。把求得的两个未知数的值用大括号联立起来,这就是二元一次方程的解。

[1]例:解方程组 :x+y=5①6x+13y=89②解:由①得x=5-y③把③代入②,得6(5-y)+13y=89得 y=59/7把y=59/7代入③,得x=5-59/7得x=-24/7∴ x=-24/7y=59/7 为方程组的解我们把这种通过“代入”消去一个未知数,从而求出方程组的解的方法叫做代入消元法(elimination by substitution),简称代入法。2)加减消元法用加减法消元的一般步骤为:①在二元一次方程组中,若有同一个未知数的系数相同(或互为相反数),则可直接相减(或相加),消去一个未知数;②在二元一次方程组中,若不存在①中的情况,可选择一个适当的数去乘方程的两边,使其中一个未知数的系数相同(或互为相反数),再把方程两边分别相减(或相加),消去一个未知数,得到一元一次方程;③解这个一元一次方程;④将求出的一元一次方程的解代入原方程组系数比较简单的方程,求另一个未知数的值;⑤把求得的两个未知数的值用大括号联立起来,这就是二元一次方程组的解。

例:解方程组:x+y=9①x-y=5②解:①+②2x=14即 x=7把x=7代入①,得7+y=9解,得:y=2∴ x=7y=2 为方程组的解利用等式的性质使方程组中两个方程中的某一个未知数前的系数的绝对值相等,然后把两个方程相加(或相减),以消去这个未知数,使方程只含有一个未知数而得以求解。像这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法(elimination by addition-subtraction),简称加减法。

3)加减-代入混合使用的方法例1 13x+14y=41 ⑴14x+13y=40 ⑵解:⑵-⑴得x-y=-1x=y-1 ⑶把⑶代入⑴得13(y-1)+14y=4113y-13+14y=4127y=54y=2把y=2代入⑶得x=1所以:x=1,y=2特点:两方程相加减,单个x或单个y,这样就适用接下来的代入消元.换元法例2,(x+5)+(y-4)=8(x+5)-(y-4)=4令x+5=m,y-4=n原方程可写为m+n=8m-n=4解得m=6,n=2所以x+5=6,y-4=2所以x=1,y=6特点:两方程中都含有相同的代数式,如题中的x+5,y-4之类,换元后可简化方程也是主要原因。设参数法例3,x:y=1:45x+6y=29令x=t,y=4t方程2可写为:5t+6*4t=2929t=29t=1所以x=1,y=4图像法二元一次方程组还可以用做图像的方法,即将相应二元一次方程改写成一次函数的表达式在同坐标系内画出图像,两条直线的交点坐标即二元一次方程组的解。

编辑本段三种解一般地,使二元一次方程组的两个方程左、右两边的值都相等的两个未知数的值,叫做二元一次方程组的解。求方程组的解的过程,叫做解方程组。

一般来说,一个二元一次方程有无数个解,而二元一次方程组的解有以下三种情况:组解如方程组x+y=5①6x+13y=89②x=-24/7。

5.7年级数学课程基础训练一元一次方程知识梳理与整合人教版答案41,42

并能应用等式性质巧解考题:

(1)a≠0时,根据近几年的考试题目分析。

3.理解方程ax=b在不同条件下解的各种情况,密切联系实际,多收集和处理信息。

2.正确理解方程解的定义一元一次方程

【知识梳理】

1.会对方程进行适当的变形解一元一次方程,即对方程进行变形,方程有无数个解,其方法就是把方程的解代入原方程、列表等方法,不要漏乘没有分母的项,方程无解,解应用题时还要注意检查结果是否符合实际意义、一元一次不等式及函数问题的基本内容:列方程解应用题,一元一次方程是学习二元一次方程组,关键是寻找题中的等量关系;

(2)a=0;二是去分母时,变形时要注意两点,把它代入原方程是适合的、一元二次方程。

4.正确列一元一次方程解应用题,并能进行简单应用;

(3)a=0,方程有唯一解x=,否则所得方程与原方程的解可能不同,一时方程两边不能乘以(或除以)含有未知数的整式,b=0时,要多关注社会热点:解方程的基本思想就是转化,可采用图示,b≠0时,使问题得到了转化:方程的解应理解为

6.求20道数学题题的要求:知识点:二元一次方程组的应用能力点:能根

一、选择题:1.下列方程中,是二元一次方程的是( ) A.3x-2y=4z B.6xy 9=0 C. 4y=6 D.4x= 2.下列方程组中,是二元一次方程组的是( ) A. 3.二元一次方程5a-11b=21 ( ) A.有且只有一解 B.有无数解 C.无解 D.有且只有两解4.方程y=1-x与3x 2y=5的公共解是( ) A. 5.若│x-2│ (3y 2)2=0,则的值是( ) A.-1 B.-2 C.-3 D. 6.方程组 的解与x与y的值相等,则k等于( )7.下列各式,属于二元一次方程的个数有( ) ①xy 2x-y=7; ②4x 1=x-y; ③ y=5; ④x=y; ⑤x2-y2=2 ⑥6x-2y ⑦x y z=1 ⑧y(y-1)=2y2-y2 x A.1 B.2 C.3 D.48.某年级学生共有246人,其中男生人数y比女生人数x的2倍少2人,则下面所列的方程组中符合题意的有( ) A.二、填空题9.已知方程2x 3y-4=0,用含x的代数式表示y为:y=_______;用含y的代数式表示x为:x=________.10.在二元一次方程- x 3y=2中,当x=4时,y=_______;当y=-1时,x=______.11.若x3m-3-2yn-1=5是二元一次方程,则m=_____,n=______.12.已知 是方程x-ky=1的解,那么k=_______.13.已知│x-1│ (2y 1)2=0,且2x-ky=4,则k=_____.14.二元一次方程x y=5的正整数解有________.15.以 为解的一个二元一次方程是________.16.已知 的解,则m=_______,n=______.三、解答题17.当y=-3时,二元一次方程3x 5y=-3和3y-2ax=a 2(关于x,y的方程)有相同的解,求a的值.18.如果(a-2)x (b 1)y=13是关于x,y的二元一次方程,则a,b满足什么条件?19.二元一次方程组 的解x,y的值相等,求k.20.已知x,y是有理数,且(│x│-1)2 (2y 1)2=0,则x-y的值是多少?21.已知方程 x 3y=5,请你写出一个二元一次方程,使它与已知方程所组成的方程组的解为 . 22.根据题意列出方程组:(1)明明到邮局买0。

8元与2元的邮票共13枚,共花去20元钱,问明明两种邮票各买了多少枚? (2)将若干只鸡放入若干笼中,若每个笼中放4只,则有一鸡无笼可放;若每个笼里放5只,则有一笼无鸡可放,问有多少只鸡,多少个笼?23.方程组 的解是否满足2x-y=8?满足2x-y=8的一对x,y的值是否是方程组 的解?24.(开放题)是否存在整数m,使关于x的方程2x 9=2-(m-2)x在整数范围内有解,你能找到几个m的值?你能求出相应的x的解吗? 答案:一、选择题1.D 解析:掌握判断二元一次方程的三个必需条件:①含有两个未知数;②含有未知数的项的次数是1;③等式两边都是整式.2.A 解析:二元一次方程组的三个必需条件:①含有两个未知数,②每个含未知数的项次数为1;③每个方程都是整式方程.3.B 解析:不加限制条件时,一个二元一次方程有无数个解.4.C 解析:用排除法,逐个代入验证.5.C 解析:利用非负数的性质.6.B7.C 解析:根据二元一次方程的定义来判定,含有两个未知数且未知数的次数不超过1次的整式方程叫二元一次方程,注意⑧整理后是二元一次方程.8.B二、填空题9. 10. -1011. ,2 解析:令3m-3=1,n-1=1,∴m= ,n=2.12.-1 解析:把 代入方程x-ky=1中,得-2-3k=1,∴k=-1.13.4 解析:由已知得x-1=0,2y 1=0,∴x=1,y=- ,把 代入方程2x-ky=4中,2 k=4,∴k=1.14. 解析:∵x y=5,∴y=5-x,又∵x,y均为正整数,∴x为小于5的正整数.当x=1时,y=4;当x=2时,y=3;当x=3,y=2;当x=4时,y=1.∴x y=5的正整数解为 15.x y=12 解析:以x与y的数量关系组建方程,如2x y=17,2x-y=3等,此题答案不唯一.16.1 4 解析:将 中进行求解.三、解答题17.∵y=-3时,3x 5y=-3,∴3x 5*(-3)=-3,∴x=4,∵方程3x 5y=-3和3x-2ax=a 2有相同的解,∴3*(-3)-2a*4=a 2,∴a=- .18.∵(a-2)x (b 1)y=13是关于x,y的二元一次方程,∴a-2≠0,b 1≠0,∴a≠2,b≠-1 解析:此题中,若要满足含有两个未知数,需使未知数的系数不为0.(若系数为0,则该项就是0)19.由题意可知x=y,∴4x 3y=7可化为4x 3x=7,∴x=1,y=1.将x=1,y=1代入kx (k-1)y=3中得k k-1=3,∴k=2 解析:由两个未知数的特殊关系,可将一个未知数用含另一个未知数的代数式代替,化“二元”为“一元”,从而求得两未知数的值.20.由(│x│-1)2 (2y 1)2=0,可得│x│-1=0且2y 1=0,∴x=±1,y=- .当x=1,y=- 时,x-y=1 = ;当x=-1,y=- 时,x-y=-1 =- .解析:任何有理数的平方都是非负数,且题中两非负数之和为0,则这两非负数(│x│-1)2与(2y 1)2都等于0,从而得到│x│-1=0,2y 1=0.21.经验算 是方程 x 3y=5的解,再写一个方程,如x-y=3.22.(1)设0.8元的邮票买了x枚,2元的邮票买了y枚,根据题意得 . (2)设有x只鸡,y个笼,根据题意得 .23.满足,不一定.解析:∵ 的解既是方程x y=25的解,也满足2x-y=8,∴方程组的解一定满足其中的任一个方程,但方程2x-y=8的解有无数组,如x=10,y=12,不满足方程组 .24.存在,四组.∵原方程可变形为-mx=7,∴当m=1时,x=-7;m=-1时,x=7;m=7时,x=-1;m=-7时x=1.。

二元一次方程组基础知识梳理

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